Negatívszor negatív az pozitív?!

A tegnapi posztban írtuk, hogy a matematikus társadalom elég lassan szokta meg, és kezdte természetesen használni a negatív számok fogalmát. a XVII. századig szinte nem is használták, próbálták elkerülni, hogy a végeredménybe negatív szám, azaz nem is szám jöjjön ki.

Biztosan mindenki ismeri a magyarázó viccet, mikor a kisgyerek megkérdezi, hogy mi is a negatív szám, mire a tanárnő azt válaszolja, hogy "képzelj el egy buszt, amin hatan utaznak. Mi történik, ha leszáll, tíz ember? Fel kell még szállnia négynek, hogy ne legyen fent senki...."

De hát valóban, nehéz elképzelni, hogy mi is az a negatív valami. Vegyünk például 2 almát. Ha háromszor két almánk van, az egyértelműen hat alma. Még ha bevezetjük a "negatív alma" (vagy "mínusz alma") fogalmát, akkor is megmagyarázható vele, hogy háromszor 2 negatív alma az hat negatív alma, azaz mínusz hat alma. De mi történik mínusz háromszor mínusz két almával?! Miért lesz az hirtelen pozitív hat alma?!

De nézzük egy másik példát.

Jelölje a negatív szám a számegyenesen a nullától való távolságot. Kétszer három azt jelenti, hogy a 0-tól kezdve jobbra lépegetünk háromszor 2-t. -2*3 pedig hogy balra lépegetünk háromszor 2-t. De mit jelent, hogy -2*-3? Mi ugraszt minket át a 6-oshoz?

El is fogadhatnánk, hogy az ember szeretné, és a matematikus meg pláne, hogy az új számok ugyanúgy viselkedjenek, mint a régiek. Azaz ha összeadjuk, kivonjuk, szorozzuk őket, akkor még mindig egész számok maradjanak. Hogy teljesítsék a disztributivitás szabályát, azaz a(b+c)=ab+ac maradjon. Tehát igaz legyen, hogy 2(3+4)=(2*3)+(2*4). És szeretnénk, hogy mindez negatív számokra is teljesüljön. Ha kicseréljük a 2-t és 3-at -2-re és -3-ra, akkor a (-2)((-3)+4)=((-2)*(-3))+((-2)*4) csak akkor lesz igaz, ha negatív számok szorzata pozitív lesz. Ha marad negatív akkor nem lesz igaz az egyenlőség: (-2)=(-14).

Tehát mit csináljunk, ha (-n)-szer szorzunk meg valamit? Bontsuk két lépésre a folyamatot:

1. Szorozzuk meg a mennyiséget n-nel.


2. Alakítsuk át a mennyiséget az ellentettjére, azaz változtassuk meg az előjelét.

Tehát ha az előző számegyeneses példát nézzük, akkor lépegessünk háromszor balra 2-t, majd az eredményül kapott -6 előjelét változtassuk meg 6-ra. Ez itt elég boszorkányágnak tűnik, de más, életszerűbb példákon keresztül már nem lesz ilyen nyakatekert a dolog.

Legyen például, hogy egy ember minden nap 10000 Ft-ot veszít szerencsejátékon. A jövőt definiáljuk pozitívnak, a múltat pedig negatívnak. Három nap múlva 30 000-et veszít (2*-10 000= -30 000). De 3 nappal ezelőtt még 30 000-rel több pénze volt (-3*-10000=30000).

Vagy legyen egy kád, amibe a víz úgy áramlik be, hogy percenként 3 cm-rel nő a vízszint. A vízszint 2 perccel ezelőtt (-3)*(-2)=6 centiméterrel volt magasabb. Ha egy hangya nyugat felé halad 3 cm/s sebességgel, akkor 2 másodperccel ezelőtt (-3)*(-2)=6 centiméterre keletre volt a mostani pozíciójától.

Egy másik nagyon szellemes példát idéznék Roy Dubisch-tól. Képzeljünk el egy várost, ahol jó és rossz emberek élnek. Bármelyikük ki és bejárhat a városba. A városfalnál a kapuban pedig számon tartják, hogy éppen hogy álla város, milyen a közbiztonsága.
A jó embereket +-szal, a rosszakat - -szal jelöljük. A bejövetel +, a kimenetel-.  Elég egyértelmű, hogy ha jó ember megy be a városba az +, de ha ki megy onnan az - a városra nézve. De ha egy rossz ember akar bejönni a városba az - a városra nézve, de ha a rossz ember elhagyja a várost, az + a városra nézve. Tehát ha három pár rossz ember elhagyja a várost akkor 6 "ponttal" nő a városlakók biztonság érzete. Szerintem zseniális példa.

A blog szövege Martin Gardner Tiles to Trapdoor Ciphers könyvének Negative Numbers fejezetének laza fordítása saját megjegyzéseimmel tűzdelve.